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Cake day: June 7th, 2023

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    8 months ago

    Das stimmt, der Grund warum ich da so pedantisch bin ist weil viele Matheanfänger “Untermenge” oder “Untergruppe” o. ä. Begriffe mit “ähnlich” im Sinne von vererbten Strukturen assoziieren. Mit der Hoffnung wenn sie die “größere” Struktur verstehen sich die Unterstruktur besser verstehen lässt. Ein sehr sehr sehr häufiger Trugschluss, die Elemente sind komplett unwichtig weswegen man ja was isomorph zueinander ist nicht wirklich unterscheidet und man durchaus von den “komplexen Zahlen als Untermenge der 2x2 Matrizen” spricht.

    Die Operationen und welche Axiome sie erfüllen sind das was letzlich zählt und hier schlägt die Algebra einem immer wieder quer.


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    8 months ago

    Was sind denn die komplexen Zahlen die sich “so auf 2x2 Matrizen abbilden” lassen? Da muss doch vorher was konstruiert worden sein was die Bildmenge ist welche nun mit einem Isomorphismus in die reellen 2x2 Matrizen abgebildet wird.

    Die Standardkonstruktion nimmt den R2 und verstattet ihn mit einer Multiplikation um die komplexen Zahlen zu konstruieren. Das ist ein zweidimensionaler Körper.





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    8 months ago

    So ein Käse, die Standardherleitung der komplexen Zahlen ist der R2 mit entsprechender Multiplikation und Addition keine Matrizen vonnöten, siehe z.B. Rudin.

    Ganz streng genommen kannst du auch vektoren miteinander multiplizieren. Sind ja schliesslich 1x2 oder 2x1 Matrizen je nachdem wie du sie drehst. Nennt man inneres bzw. äußeres Produkt je nachdem wierum du sie aufstellst.


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    8 months ago

    Das meinte ich mit “untermenge nur im mengentheoretischem sinne aber nicht im algebraischen”. Ganz streng genommen nämlich nicht mal im mengentheoretischen Sinn da der aus [[1,0],[0,1]] und [[0,-1],[1,0]] generierte Körper zwar isomorph zu den komplexen Zahlen ist, aber halt nicht die komplexen Zahlen ist.